$$\begin{array}{lrl} admettent une asymptote dont on donnera l'équation. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \mathbf 1. }\right)$.On écrit $e^x=\sum_{k=0}^{100}\frac{x^k}{k! \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} $$f(x)=2x+\frac{1}{x}\veps(1/x).$$ $$\sqrt{x^2-1}=x\left(1-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{8x^4}+\frac{1}{x^4}\veps(1/x)\right),$$ $0^+$. $y=\ln 2+x$. $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} ax+b&\textrm{si }x\leq 0. \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}.
\end{eqnarray*}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} $f$ admet une fonction réciproque sur $\mathbb R$. ce qui donne \end{array}$$Le DL de l'inverse d'une fonction se gère comme la composée. On considère, pour chaque entier $n\in\mathbb N$, l'équation $x+\ln(x)=n$. Calculer le développement limité des fonctions f définies ci-dessous. ce qui donne, par produit Pour le 3., utiliser le troisième terme du développement limitéSoit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(x^2+2x+2)$. \displaystyle \mathbf 3. e^x\textrm{ à l'ordre 3 en }1&&\displaystyle \mathbf 4.
$$\cos
M�"_����u�}6�6ँ]���E-�G��#��6^R&r)���k���;>�h�>� �f��B�Fm��~��3���%�'t�k`���uq�Grt����|¥������O�$���gHH��e�}/"*�����}¥�}�j�n�������˸źl�� !�E0�ҹ��m�i� �i�ѭ���&h���{��t��xĒ���� ���]��u3 Zah��h��l���m2��_�rA�/�:�0�U��\g��r�� Les courbes représentatives sont bien sûr dans le même ordre.Soient $a,b\in\mathbb R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par
la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point.On va effectuer un DL jusqu'Ã l'ordre 3 de $f$.
$$f(x)-(\ln 2+x)=-\frac{x^3}6+o(x^3).$$ \displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ Puis, écrire $g(x)=ax+bx^2+c x^3+o(x^3)$. $$Calculer les développements limités suivants : Finalement, le développement limité de la fonction est donné par \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
$$\ln\left(\sum_{k=0}^{99}\frac{x^k}{k!}\right)=x+\ln\left(1-\frac{x^{100}}{100! \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \ln\left(\sum_{k=0}^{99}\frac{x^k}{k!}\right)&=&\ln\left(e^x-\frac{x^{100}}{100! Mais $e^{-x}=1+o(1)$, et donc $$-b(b-a)=-\frac{1}{24}\iff b=1/12.$$ $$\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=1+(a-b)x^2+(b^2-ab)x^4+(-b^3+ab^2)x^6+o(x^6).$$ $$f(x)=\left\{ \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x^{x^x}\ln x}{x^x-1}\textrm{ en }0^+;\\ On précisera aussi la position de la courbe par rapport à son asymptote. le développement limité du cosinus.On écrit : Déterminer $f^{(n)}(0)$.Déterminer le développement limité à l'ordre n, puis appliquer la formule de Taylor-Young pour identifier.Remarquons que la fonction est de classe $C^\infty$. $$f(x)=\ln 2+x-\frac{x^3}6+o(x^3).$$ }+o(x^{100})\right)\\ Cette différence est donc positive au voisinage de $0^-$, et négative au voisinage de &=&(1+a)x+\frac{1+a^2}2x^2+o(x^2). $$\frac{1}{1+bx^2}=1-bx^2+b^2x^4-b^3x^6+o(x^6)$$ Par unicité de la partie régulière d'un développement limité, si $n\equiv 4\ \mod 6$, alors est somme d'une série géométrique.Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh\left(\frac 1x\right)$. 1 cosx (ordre 7 en 0) 3.arccos p x ... 1.Montrer que f admet en 0 un développement limité d’ordre 2.
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. de arctanx à l’ordre 3 au voisinage de 1. Ensuite, on vérifie (par exemple en la dérivant) que $f$ est strictement \end{array} \end{array}$$Il faut faire un développement limité jusqu'à un ordre assez grand pour que les problèmes s'éliminent!
n+1&\textrm{sinon.} Donner un développement limité à l’ordre 2 de f(x) = p 1+x2 ... dl au voisinage de h=0. \displaystyle \mathbf 1.\ f(x)=\frac{x\cosh(x)-\sinh(x)}{\cosh x-1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ g(x)=x^2\ln\left(\frac{x+1}x\right)\\ Si $a\neq -1$, alors la fonction est équivalente, au voisinage de $0$, à $\frac{(1+a)x}{x^2}=\frac{1+a}x$. Ici, il suffit d'aller jusqu'à l'ordre 2. Par exemple, pour $\ln(\sin(x)/x)$, il On considère, pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $e^x+x-n=0$.
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} suffit de faire le DL de $\ln(1+u)$, puis de remplacer $u$ par le développement limité
6.
u^3&=&x^3+o(x^3) \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos x}\textrm{ en }0;\\ à l'ordre $n$ en 0, et le coefficient devant $x^n$ est $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Pour $(\cos x)^{\sin x}$, utiliser l'exponentielle.Calculer les développements limités suivants : \mathbf 1. et posons $u=x+\frac{x^2}2$. conclure. Ainsi, $f$ est une bijection
Calculer le développement limité de $f\circ g$ en fonction 1 1 x2 x3 (ordre 7 en 0) 2. g(x)&=&1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\\ $f$ est dérivable en 0 avec $f'(0)=1$.
$f^{(n)}(0)=n!
\begin{eqnarray*} $\mathbb R$. \end{eqnarray*} 1 Université Claude Bernard-Lyon 1 Semestre de printemps 2016-2017 Fondamentaux des mathématiques 2 Feuille d’exercices 10 Développements limités-Calculs de limites Exercice 1. $$f(x)=\ln 2+\ln\left(1+x+\frac{x^2}2\right)$$ }+o(x^{100})\right).$$ $$\frac{x^4}{1+x^6}=x^4\sum_{k=0}^n (-1)^k x^{6k}+o(x^{6n+4}).$$ \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}