Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (Un ensemble est infini au sens de Dedekind si et seulement s'il contient un ensemble dénombrableOn peut montrer que l'équivalence entre « infini » et « infini au sens de Dedekind » est plus faible que l'axiome du choix dénombrable, au sens où, en supposant que la théorie ZF est cohérente, il existe un modèle de la théorie des ensembles ZF où tout ensemble infini est infini au sens de Dedekind, mais qui ne satisfait pas l'axiome du choix dénombrableCe dernier résultat a pour conséquence les deux précédents par le Il s'avère que l'équipotence de tout ensemble infini avec son carré cartésien est même équivalente à l'axiome du choix, comme l'a montré Il est possible de représenter les entiers en théorie des ensembles, par les L'ensemble des polynômes à coefficients entiers est évidemment infini, et s'injecte dans l'ensemble des suites finies d'entiers (en prenant la suite de ses coefficients), donc est dénombrable. Pour l’article homophone, voir Cet ouvrage introductif couvre, sauf références précisées, à peu près tout le contenu de l'article.Caractérisations des ensembles infinis non dénombrablesCaractérisations des ensembles infinis non dénombrablesLa notion dans l'article de 1874 où elle apparaît pour la première fois (cf. Cette suite établit bien une bijection strictement croissante d'un segment initial des entiers dans Par construction, soit cette suite est définie sur tous les entiers naturels, soit il existe un entier Montrons maintenant que l'image de cette suite est Par définition d'une part des ensembles finis, d'autre part des ensembles dénombrables, on déduit du lemme la première partie de la proposition qui suit. La notion fut introduite par Georg Cantor dans un article de 1874, Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels8, article qui marque la naissance de la théorie des ensembles9. On dispo… Re: ensemble infini dénombrable il y a quinze années André, ton problème est très simple, tu utilises le mot "compter" de deux manières différentes : d'abord dans son sens commun, celui de "l'homme de la rue"(rien de péjoratif là dedans), et dans le cadre d'une définition mathématique (on peut "compter" les éléments d'un ensemble lorsque celui ci est dénombrale). Si la famille a pour On peut utiliser ces propriétés pour donner une justification rapide de la dénombrabilité de l'ensemble Par composition, il est toujours possible de se ramener au cas où la famille est indexée par On peut réexaminer certains des exemples du début à la lumière de ces résultats.

Dans les deux cas on peut montrer que l'axiome du choix dénombrable suffit. On trouve la définition de dénombrable (Démonstration due à Dedekind, selon leur correspondance.Caractérisation par récurrence due à Moshe Newman selon L'existence et l'unicité d'une suite définie par récurrence sur les entiers naturels se démontre en On utilise en fait une autre version faible de l'axiome du choix, l'axiome du choix dépendant, qui est cependant plus forte que l'axiome du choix dénombrable, voir les ouvrages cités dans les notes suivantes. On utilise ces caractérisations dans la suite, mais comme premier exemple d'application on peut montrer que pour tout entier Une famille finie non vide peut être supposée indexée par les entiers de 0 à On utilise les caractérisations de la section précédente. L'ensemble des nombres algébriques, qui est la réunion des ensembles des racines de tous les polynômes à coefficients entiers, est donc au plus dénombrable en utilisant la proposition précédente ; il est dénombrable. En effet l'existence d'ensembles qui ne sont pas équipotents à une partie de On peut aussi exploiter les propriétés des ensembles dénombrables, pour en déduire des propriétés des ensembles qui contiennent un ensemble dénombrable, c'est-à-dire, en présence de l'Le corollaire n'utilise l'axiome du choix que pour montrer que Les définitions et les développements autour du dénombrable ont été menés sans faire référence à une axiomatisation précise de la On a eu besoin de l'axiome du choix, d'une part pour montrer que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, d'autre part pour montrer que si un ensemble n'est pas fini, il contient un ensemble dénombrable.


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