Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ». Une image est en fait une fonction à deux variables noté Repérant dans une image donnée les pixels ayant des forts gradients, ceux-ci peuvent servir d'amers, c'est-à-dire des points particuliers reconnaissables (notés dans une carte par exemple) permettant de se situer dans l'espace, autrement dit de recaler sa navigation.
Cette propriété lui permet d'être défini indépendamment du choix du système de coordonnées, en tant que champ de vecteurs dont les composantes se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre. Les gradients sont les flèches bleues qui indiquent là où la fonction croit le plus. Avec deux dimensions, les composantes du vecteur Soit un champ scalaire U(x,y,z) On appelle gradient de U le vecteur que l’on note également avec i =(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), et l’opérateur nabla égal à Dans ce cas, on peut réécrire la relation précédente sous la forme Dans le premier cas, on parle de Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du hessien). Ceci montre que le souci de définir le gradient d’un champ scalaire sans utiliser de coordonnées ne se réduit pas à une seule problématique d’ordre théorique.
L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient. Le gradient de la fonction à deux variables f (x, y) = xe− (x2 + y2) est représenté par les flèches bleues. Pour illustrer ce que représente concrètement, en un point M(x,y,z), le vecteur Représentation du gradient d'un champ scalaire. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D. Elle représente la variation infinitésimale de cette fonction par rapport à un déplacement infinitésimal en ce point. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées On crée alors un vecteur appelé gradient de température On caractérise un point de l'espace, Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. On peut donner un statut mathématique précis aux notations Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire un produit scalaire de deux vecteurs :
Laplacien d'un champ scalaire Le Laplacien d'un champ scalaire ψ {\displaystyle \psi } est défini comme la divergence du gradient : ∇ ⋅ (∇ ψ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi)=\nabla ^{2}\psi } C'est un champ scalaire. Numériquement, il est très intéressant de faire ensuite la demi-différence des deux développements pour obtenir la valeur du gradient et on note que celui-ci ne dépend pas en fait de la valeur de la fonction au point Classiquement, on sait que le gradient permet de définir la « normale aux courbes de niveau », ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. Les valeurs vont du blanc (valeur faible) à noir (valeur élevée). On peut encore étendre cette définition à une fonction différentiable définie sur une Si une application admet un gradient en un point, alors on peut écrire ce développement limité du premier ordre